Apreçamento da convexidade de derivativos indexados ao percentual do CDI no modelo de Black-Derman-Toy

Abstract

Devido à característica estocástica das taxas de juros e ao efeito composto da composição do fator diário de derivativos indexados ao percentual do CDI, os derivativos indexados a percentuais do CDI diferentes de 100% possuem intrinsecamente tanto risco de delta quanto risco de convexidade (ou gamma) quanto às oscilações da taxa de juros de mercado. Enquanto o primeiro risco é corretamente mensurado pelo mercado, o segundo risco segue sendo ignorado ou mal precificado no apreçamento desses derivativos. A convexidade deles é tanto maior quanto mais longo o vencimento do mesmo, quanto mais distantes de 100%CDI eles estiverem indexados e quanto mais elevados tanto os níveis de taxas de juros de mercado quanto suas volatilidades. De forma a precificarmos os mesmos com maior exatidão precisamos incorporar ao apreçamento de mercado um prêmio que chamaremos de prêmio de convexidade. Esse prêmio se refere ao resultado esperado pela marcação a mercado desses derivativos, que será diferente de zero, quando o risco de delta é dinamicamente neutralizado através de contratos futuros de DI. Utilizamos o modelo de Black-Derman-Toy para estimarmos esses prêmios para diversos valores de percentual do CDI, diversos cenários de volatilidade das taxas de juros e para diversas maturidades do derivativo. Os resultados se mostraram bastantes consistentes com nossas simulações, sendo muito relevantes para o período atual de alta volatilidade, notadamente para derivativos acima de cinco anos e percentuais do CDI acima de 150%. Por fim, nosso modelo foi validado estimando milhares de cenários através de simulações de Monte Carlo para as oscilações do CDI e da taxa de juros de mercado, assim como para avaliar a estratégia de delta hedge dinâmico mais eficiente para o comprador ou vendedor de convexidade.